Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$ und die Strecke $\overline{AF}$, wobei die Strecke $\overline{AB}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $B$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}$; $\omega =45^\circ$.

Zeigen Sie sodann, dass für das Maß des Winkels $FAE$ gilt: $\sphericalangle FAE = 31{,}43^\circ$. (3 P)

Punkte $S_n$ liegen auf der Strecke $\overline{AF}$ . Die Winkel $AES_n$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi \in\; ]0^\circ; 90^\circ]$. Die Punkte $S_n$ sind die Spitzen von Pyramiden $ABCDS_n$ mit den Höhen $\overline{S_nT_n}$ .

Es gilt: $T_n \in\overline{AB}$.

Zeichnen Sie für $\varphi =70^\circ$ die Strecke $\overline{ES_1 }$, die Pyramide $ABCDS_1$ und die Höhe $\overline{S_1T_1}$ in das Schrägbild zu a) ein.

Ermitteln Sie sodann rechnerisch die Länge der Strecken $\overline{AS_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$.

(3,5 P)

$[$Teilergebnis: $\left|\overline{AS_n}(\varphi)\right|= \dfrac{9\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+31{,}43^\circ)} \;\text{cm}]$

In der Pyramide $ABCDS_2$ gilt: $\left|\overline{AT_2}\right|= 3{,}5 \;\text{cm}$.

Berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{AS_2}$ sowie den zugehörigen Wert für $\varphi$. (3,5 P)

$[$Teilergebnis: $\left|\overline{AS_2}\right|= 6{,}71 \;\text{cm}]$

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen $V$der Pyramiden $ABCDS_n$ in

Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=\dfrac{98{,}56\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+31{,}43^\circ)} \;\text{cm}^3$. (3 P)

Unter den Strecken $\overline{ES_n}$ hat die Strecke $\overline{ES_0}$ die minimale Länge.

Begründen Sie, dass für die zugehörige Belegung für $\varphi$ gilt: $\varphi= 58{,}57^\circ$.

Berechnen Sie sodann den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $ABCDS_0$ am Volumen des Prismas $ABCDEFGH$. (3,5 P)