Teil B

In das Koordinatensystem sind die Gerade $g$ und das Dreieck $AB_1C_1$ für $x=3$ bereits eingezeichnet.

Ergänzen Sie das Dreieck $AB_2C_2$ für $x=-1$. (1 P)

Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte $C_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$. (4 P)

Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie ein zugehöriges Baumdiagramm, in dem die Anteile ersichtlich sind.

(2,5 P)

Erfahrungsgemäß kommt es bei $15\;\%$ aller Reservierungen zu einem Fehler. Ein zufällig ausgewählter Gast, der eine Reservierung über die Homepage vorgenommen hat, wird zur Zufriedenheit mit dem Restaurant befragt.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit $p\;\%$ dafür, dass es bei der Reservierung dieses Gastes zu einem Fehler kam. (2 P)

Geben Sie die Wertemenge von $f_1$ an und zeichnen Sie die Graphen zu $f_1$ und $f_2$ für

$x \in[-3;8 ]$ in ein Koordinatensystem. (4 P)

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\;\text{cm}$; $-3\leq x \leq 8 ;\; -4 \leq y \leq 9$

Der Graph der Funktion $f_1$ kann durch Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}x_v\\y_v\end{pmatrix}$

auf den Graphen der Funktion $f_2$ abgebildet werden $(x_v , y_v \in\mathbb{R})$.

Geben Sie die Koordinaten des Vektors $\vec v$ an. (1 P)

Punkte $A_n(x|0{,}75^{x-4}+1)$ auf dem Graphen zu $f_1$ und Punkte $B_n(x|0{,}75^{x-2}-3)$ auf

dem Graphen zu $f_2$ haben dieselbe Abszisse $x$. Sie sind zusammen mit Punkten $C_n$

Eckpunkte von Dreiecken $A_nB_nC_n$.

Es gilt: $\vert\overline {A_nC_n} \vert =5\;\text{LE}$ ; $\sphericalangle B_nA_nC_n =60^\circ$.

Zeichnen Sie das Dreieck $A_1B_1C_1$ für $x=-2$ und das Dreieck $A_2B_2C_2$ für $x=3{,}5$ in das Koordinatensystem zu Aufgabe a) ein.

Berechnen Sie sodann die x-Koordinate des Punktes $C_1$. (4 P)

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $\overline {A_nB_n}$ in Abhängigkeit von

der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt:

$\vert\overline {A_nB_n} \vert(x) =(0{,}78\cdot 0{,}75^{x-2}+4)\;\text{LE}$.

Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Dreiecks $A_1B_1C_1$. (4 P)

Das Dreieck $A_3B_3C_3$ ist gleichschenklig mit der Basis $\overline {B_3C_3}$.

Berechnen Sie die zugehörige x-Koordinate des Punktes $A_3$. (2 P)

Begründen Sie, weshalb das Dreieck $A_3B_3C_3$ gleichseitig ist. (1,5 P)

Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$ und die Strecke $\overline{AF}$, wobei die Strecke $\overline{AB}$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $B$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}$; $\omega =45^\circ$.

Zeigen Sie sodann, dass für das Maß des Winkels $FAE$ gilt: $\sphericalangle FAE = 31{,}43^\circ$. (3 P)

Punkte $S_n$ liegen auf der Strecke $\overline{AF}$ . Die Winkel $AES_n$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi \in\; ]0^\circ; 90^\circ]$. Die Punkte $S_n$ sind die Spitzen von Pyramiden $ABCDS_n$ mit den Höhen $\overline{S_nT_n}$ .

Es gilt: $T_n \in\overline{AB}$.

Zeichnen Sie für $\varphi =70^\circ$ die Strecke $\overline{ES_1 }$, die Pyramide $ABCDS_1$ und die Höhe $\overline{S_1T_1}$ in das Schrägbild zu a) ein.

Ermitteln Sie sodann rechnerisch die Länge der Strecken $\overline{AS_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$.

(3,5 P)

$[$Teilergebnis: $\left|\overline{AS_n}(\varphi)\right|= \dfrac{9\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+31{,}43^\circ)} \;\text{cm}]$

In der Pyramide $ABCDS_2$ gilt: $\left|\overline{AT_2}\right|= 3{,}5 \;\text{cm}$.

Berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{AS_2}$ sowie den zugehörigen Wert für $\varphi$. (3,5 P)

$[$Teilergebnis: $\left|\overline{AS_2}\right|= 6{,}71 \;\text{cm}]$

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen $V$der Pyramiden $ABCDS_n$ in

Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=\dfrac{98{,}56\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+31{,}43^\circ)} \;\text{cm}^3$. (3 P)

Unter den Strecken $\overline{ES_n}$ hat die Strecke $\overline{ES_0}$ die minimale Länge.

Begründen Sie, dass für die zugehörige Belegung für $\varphi$ gilt: $\varphi= 58{,}57^\circ$.

Berechnen Sie sodann den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $ABCDS_0$ am Volumen des Prismas $ABCDEFGH$. (3,5 P)