Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie II

Eine Skulptur aus Leichtmetall in einer Kunsthalle hat die Form eines nicht symmetrischen Trapezes $ABCD$ , aus dem ein Dreieck $EFG$ ausgeschnitten wurde. Das Trapez wird modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem des $\mathbb{R}^3$ betrachtet. Der Hallenboden liegt in der $x_1-x_2$ -Koordinatenebene und der Punkt $O$ im Koordinatenursprung. Die Punkte $A(7|7|2)$ , $B(3|10|2)$ , $C(1|4|5)$ und $D(3|2{,}5|5)$ bilden die Eckpunkte des Trapezes. Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Dezimeter. Auf die Mitführung von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden.

Die Punkte $A, B$ und $C$ legen die Ebene $K$ fest. Ermitteln Sie jeweils eine Gleichung von $K$ in Parameter- und Koordinatenform.
[ Mögliches Teilergebnis: $K: 3x_1+4x_2+10x_3=69$ ]
Berechnen Sie den Neigungswinkel der Trapezfläche $ABCD$ gegenüber dem Hallenboden. Runden Sie Ihr Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Erläutern Sie, wie Sie den Inhalt der Trapezfläche $ABCD$ berechnen können, ohne diese Rechnung konkret durchzuführen. Hinweis: Die ausgeschnittene Dreiecksfläche $EFG$ ist bei der Erläuterung nicht zu berücksichtigen.
Der Punkt $E$ ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$ (siehe Skizze). Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $E$ .
[Mögliches Ergebnis: $E(3|5|4)$ ]
Für den Punkt $F$ des Dreiecks $EFG$ gilt: $F(4{,}4|5{,}2|3{,}5)$ . Berechnen Sie die Maßzahl der Länge der Dreiecksseite $\overline{EF}$ und die Koordinaten des Punktes $G$ , wenn die Dreiecksseite $\overline{FG}$ parallel zu $\overline{AB}$ ist und $|\overline{EF}|=|\overline{FG}|$ gilt.